Questão 10

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Considere um ponto $P$ cujas coordenadas $(x,y)$ , $x,y in mathbb{R}$ , satisfazem o sistema

$left{egin{matrix} 4 cossec(alpha)x - 6 cotg(alpha)y& = 4 sen(alpha)\ 12 cossec(alpha)y - 8 cotg(alpha)x& = 0 end{matrix} ight.$

onde $alpha$ é um ângulo em radianos diferente de $kpi$ $(k in mathbb{Z})$ . O lugar geométrico descrito pelos pontos P, conforme se varia o ângulo α, é um segmento de:

reta horizontal.

reta vertical.

reta inclinada.

elipse.

parábola.

Gabarito:

reta vertical.

Resolução:

Resolvendo o sistema dado:

$2cossec(alpha x)-3cotg(alpha y)=2senalpha .(-cossec(alpha))$ (multiplicando por $-cossec(alpha)$ )

$2cotg(alpha x)-3cossec(alpha y)=0$ (multiplicando por $cotg(alpha)$ )

Assim, somando os termos, temos $2(cotg(alpha)^2-cossec(alpha)^2)x=-2sen(alpha)cossec(alpha)$ $ightarrow x=1$ .

$2cotg(alpha)=3cossec(alpha).y Rightarrow y=frac{2cos(alpha)}{3}$ dentro de um intervalo $(frac{-2}{3},frac{2}{3})$ .

Portanto, com $x=1$ , tem-se tem uma reta vertical.

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