Questão 13

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Seja a equação

$frac{144^x+324^x}{64^x+729^x}=frac{6}{7}$ .

A soma dos módulos das soluções reais desta equação é

Gabarito:

Resolução:

$frac{9^x.4^{2x}+4^x.9^{2x}}{4^{3x}+9^{3x}}=frac{6}{7}$ , notemos que o denominador representa um produto notável, o qual podemos realizar a fatoração do mesmo:

$(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)Rightarrow (4^x)^3+(9^x)^3=(4^x+9^x)(4^{2x}-4^x9^x+9^{2x})$ .

$ightarrow frac{9^x4^x(4^x+9^x)}{(4^x+9^x)(4^{2x}-4^x9^x+9^{2x})}$ $= frac{9^x4^x}{4^{2x}-4^x9^x+9^{2x}}=frac{6}{7}$

Façamos $9^x=p$ e $4^x=q$ , portanto:

$frac{pq}{q^2-pq+p^2}=frac{6}{7} ightarrow 7pq=6q^2-6pq+6p^2 ightarrow 6p^2-13pq+6q^2$

$6p^2-13pq+6q^2 ightarrow Delta =169q^2-4.6.6q^2=169q^2-144q^2=25q^2$

$p=frac{13qpm 5q}{12}$

Solução 1:

$p_1=frac{18q}{12}=frac{6q}{4}=frac{3q}{2}Rightarrow 9^{x_1}=frac{3.4^{x_1}}{2} ightarrow 3^{2x_1}.2=3.2^{2x_1} ightarrow 3^{2x_1-1}=2^{2x_1-1}$

$(2x_1-1)log3=(2x_1-1)log2 ightarrow (2x_1-1)(log3-log2)=0$

$2x_1-1=0 ightarrow x_1=frac{1}{2}$

Solução 2:

$p_2=frac{8q}{12}=frac{2q}{3}Rightarrow 9^{x_2}=frac{2.4^{x_2}}{3} ightarrow 3^{2x_2}.3=2.2^{2x_2} ightarrow 3^{2x_2+1}=2^{2x_2+1}$

$(2x_2+1)(log3-log2)=0Rightarrow 2x_2+1=0 ightarrow x_2=frac{-1}{2}$

A soma dos módulos se dá por:

$|frac{1}{2}|+|frac{-1}{2}|=1$ .

Questões relacionadas

Questão 1

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Considere as matrizes e . Seja a transposta da matriz . Sabendo que então é

Ver questão

Questão 2

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Seja uma função definida em tal que . Para todo valem as seguintes desigualdades e . Se , o valor de é

Ver questão

Questão 3

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Considere os conjuntos de números complexos: tal que e e tal que e max onde , , e são números...

Ver questão

Questão 4

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) A equação arctg() + arctg() = arctg , em que arctg() é o arco tangente de , apresenta:

Ver questão