Questão 14

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 1ª fase) Se a equação $2x^2+cxy-3x+6y^2-4y-2=0$ representa no plano real duas retas concorrentes, então o valor positivo do número real c é

Gabarito:

Resolução:

$2x^2+(cy-3)+6y^2-4y-2=0Rightarrow Delta =(cy-3)^2-4.2.(6y^2-4y-2)$

$Delta =c^2y^2-6cy+9-8(6y^2-4y-2)=(c^2-48)y^2+2.(16-3c)y+25$

Para obtermos duas retas, precisamos de um trinômio quadrado perfeito, logo, $Delta$ é um quadrad perfeito.

Logo, $k^2=c^2-48$ e $pm 5k=16-3c$

$ightarrow frac{(16-3c)^2}{5^2}=c^2-48 ightarrow 256-96c+9c^2=25c^2-1200$

$16c^2+96c-1456=16.(c^2+6c-91)=0$

$c^2+6c-91=0 ightarrow c=-13$ (não serve) ou $c=7$ .

Portanto, $c=7$ atende as condições.

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