Questão 1

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Determine o(s) valor(es) real(ais) de x tal(is) que

Gabarito:

Resolução:

Por Lagrange, podemos separar em:

$A_5=2.egin{vmatrix} 2 & -1 &0 &0 \ -1& 2 & -1 &0 \ 0& -1 &2 &-1 \ 0& 0 &-1 &x end{vmatrix} + egin{vmatrix} -1 & -1 &0 &0 \ 0& 2 &-1 &0 \ 0& -1 &2 &1 \ 0&0 & -1 & x end{vmatrix}$

Notemos que o primeiro determinante equivale a $A_4$ e o segundo determinante, $-1.A_3$

Então, $A_5=2.A_4-A_3$

Desenvolvendo o determinante das matrizes, de forma que reduzimos sua ordem, teremos, analogamente:

$A_4=2.A_3-A_2$

$A_3=2.A_2-A_1$

Chegando em $A_2=egin{vmatrix} 2 &-1 \ -1&x end{vmatrix}=2x-1$ e $A_1=|x|=x$

Substuindo nas equações acima, chegamos em:

$A_5=5x-4$

Porém, $x=determinante(A_5)$ , tendo: $x=5x-4 ightarrow x=1$ .

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