Questão 2

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Seja $S = (1+tg(alpha)+sec(alpha))(1+cotg(alpha)-cossec(alpha))$ . Mostre que o valor de $S$ é um número inteiro para todo valor do ângulo $alpha$ diferente de $frac{kpi}{2}$ , com $kin mathbb{Z}$ e calcule esse valor.

Gabarito:

Resolução:

Seja $a=senalpha$ e $b=cosalpha$ , com relação fundamental tal que $a^2+b^2=1$ .

Portanto,

$E=(1+frac{a}{b}+frac{1}{b})(1+frac{b}{a}-frac{1}{a})$

$E=(frac{b+a+1}{b})(frac{a+b-1}{a})$

$E=(frac{(a+b)^2-(1)^2}{ab})$

$E=(frac{(a+b)^2+2ab-1}{ab})$

$E=(frac{1+2ab-1}{ab})=2$ (cte)

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