Questão 3

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Determine a soma de todos os valores reais de k para os quais o sistema

$egin{cases} sqrt{x^{2}+2x+1}+|y-2|=frac{1}{2}\ x^{2}+36y^{2}=2(kx+72y)-140-k^{2}end{cases}$

possui solução única, sabendo que $x, y in mathbb{R}$

Gabarito:

Resolução:

$sqrt(x^2+2x+1)=sqrt(x+1)^2=|x+1|$

Organizando, chegamos em:

$|x+1|+|x+2|=frac{1}{2}$

$(x-k)^2+36.(y-2)^2=4 ightarrow frac{(x-k)^2}{4}+frac{(y-2)^2}{frac{1}{9}}=1$

Ou seja, temos uma elipse e um quadrado, de tal forma que:

Desta forma, devemos ter:

$k=-1+frac{1}{2}+2=frac{3}{2}$ (tangente direita)

$k=-1-frac{1}{2}-2=frac{-7}{2}$ (tangente esquerda)

Somanto, temos $-2$ .

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