Questão 4

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Sejam os números complexos $z_{1}, z_{2}, . . . , z_{n}$ tais que suas partes reais e imaginárias formam, respectivamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica crescentes de números reais e de mesma razão. Sabe-se que $z_{1} = 2 + 5i$ e $z_{4} = m(i^{4m} + 5i^{4m+1})$ onde $m in mathbb{Z}$ + e $i^{2} = -1$ . Considere $S_{n} = frac{1}{5} sum_{k=1}^{n} z_{k}$ e $A_{n} = frac{2}{5} sum_{k=1}^{n} k$ . Calcule o valor de $P =frac{S_{n}-A_{n}}{i}$ em função de $n$ .

Gabarito:

Resolução:

Seja $z_n=a_n+b_ni$ , tal que $a_n$ segue uma PA e $b_n$ uma PG, sendo assim $left{egin{matrix} a_n = 2+(n-1)r \ b_n = 5.r^{n-1} end{matrix} ight.$ .

Sendo assim, $z_n=[2+(n-1)r]+5i.r^{n-1}$

$z_4=[2+3r]+5i.r^{3}=m.i^{4m}+5m.i^{4m+1}=m+5m.i$

Portanto, $m=2+3r$ e $5m=5r^3$ $Rightarrow$ $r^3-3r-2=0$

Notemos que $r=-1$ é raíz, assim, temos como fatoração $(r+1)^2(r-2)=0$

Como é enunciado, tratamos de sequências crescentes, logo $r>0$ .

$S_n=frac{1}{5}sum_{k=1}^{n}a^k+i.frac{1}{5}sum_{k=1}^{n}b^k$

$S_n=frac{1}{5}.2.(1+2+...+n)+frac{1}{5}.5.(1+2^1+2^2+...+2^{n-1})$

$S_n=frac{n.(n+1)}{5}+i.(2^n-1)$

$A_n=frac{2}{5}.(1+2+3+...+n)=frac{n(n+1)}{5}$

Logo, $P=frac{S_n-A_n+1}{i}=frac{frac{n(n+1)}{5}+i.(2^n-1)-frac{n.(n+1)}{5}}{i}$

$P=frac{i.2^n-i}{i}+1=2^n-1+1=2^n$

$P=2^n$

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