Questão 5

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

As raízes da equação $4x^{3} - 40x ^{2} + 129x - 135 = 0$ são os comprimentos dos lados de um triângulo em metros. Determine a área deste triângulo.

Gabarito:

Resolução:

Seja a, b e c raízes da equação, aplicando as equações de Girard, temos:

$a+b+c=frac{40}{4}=10=2P$

Também sabemos que a fatoração de um polinômio de grau 3 no formato $Ax^3+Bx^2+Cx+D$ se dá por $A.(x-a)(x-b)(x-c)$

Logo,

$P(x)=4.(x-a)(x-b)(x-c) ightarrow P(5)=4.(5-a).(5-b)(5-c)$

Substituindo no polinômio inicial, sabemos que $P(5)=10$ .

Então, $(5-a)(5-b)(5-c)=frac{10}{4}$

Usando a fórmula da área $S=sqrt{{P.(P-a).(P-b)(P-c)}}$ $ightarrow S=sqrt{5.frac{10}{4}}=frac{5.sqrt{2}}{2}$ .

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