Questão 9

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Sejam $P_{1}$ um tetraedro regular e $P_{2}$ um prisma triangular reto. Ambos os poliedros possuem uma base comum, e a razão entre as áreas totais de $P_{2}$ e $P_{1}$ é 2. Determine a razão entre os volumes de $P_{2}$ e $P_{1}$ .

Gabarito:

Resolução:

Seja um prisma de base triangular de lados iguais a $a$ e altura $h$ .

Assim, façamos:

$frac{A_{total}(prisma)}{A_{total}(tetraedro)}=2Rightarrow frac{2.frac{a^2sqrt3}{4}+3ah}{4.frac{a^2.sqrt3}{4}}=2$

$frac{a^2sqrt3+6ah}{2}=2a^2sqrt3 ightarrow h=frac{a.sqrt3}{2}$

Assim, para $frac{V(prisma)}{V(tetraedro)}=frac{frac{a^2.sqrt3}{4}.frac{a.sqrt3}{2}}{ frac{a^3.sqrt2}{12}}=frac{9sqrt2}{4}$ .

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