Questão 10

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Seja a equação $(36x + 1)(27x + 3)(24x + 6)(18x + 3) = 189$ . Determine as suas raízes reais.

Gabarito:

Resolução:

Multiplicamos ambos os lados de tal forma que consigamos os números acompanhados de x idênticos, assim:

$(36x+1)(36x+4)(36x+9)(36x+6)=189.4=756$

Seja $k=36x$ , então, $(k+1)(k+9)(k+6)(k+4)=756 ightarrow (k^2+10k+frac{33}{2})^2=756+frac{15^2}{4}=frac{3249}{4}$

Assim, $(k^2+10k+frac{33}{2})=pmfrac{57}{2}$

$(k+5)^2=frac{17pm57}{2}$

$x=frac{-5pm sqrt37}{36}$ ou $x=frac{-5pm i.sqrt20}{36}$ ,

como a questão pede as raízes reais, $x=frac{-5pm sqrt37}{36}$ .

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