Questão 8

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Sejam $a, b, c$ número reais maiores que 1. Considere a expressão:

$S = frac{xy+yz+xz+2(x+y+z)+3}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

onde $x=log_{c}ab, y=log_{b}ac, z=log_{a}bc$

Prove que o valor de $S$ é um número inteiro e calcule este valor.

Gabarito:

Resolução:

Vejamos que $log_cabc=x+1=k_1$ , $log_babc=y+1=k_2$ e $log_aabc=z+1=k_3$

Também vejamos que, ao fatorarmos o numerador, chegamos em $xy+yz+xz+2(x+y+z)+3=[(x+1)(y+1)(z+1)-1-xyz]+(x+1)+(y+1)+(z+1)$

$k_1k_2k_3-1-(k_1-1)(k_2-1)(k_3-1)=k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3$

$S=frac{k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3}{k_1k_2k_3}=frac{1}{k_1}+frac{1}{k_2}+frac{1}{k_3}$

Por propriedade dos logaritmos, sabemos que $log_{abc}c=frac{1}{k_1}$ , $log_{abc}b=frac{1}{k_2}$ e $log_{abc}a=frac{1}{k_3}$ .

Assim, $S=1$ .

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