Questão 7

IME 2022

Matemática

(IME - 2022/2023 - 2 fase)

Seja um triângulo acutângulo IME conforme a figura abaixo tal que $overline{IH}=overline{IO}$ , onde $H$ e $O$ são respectivamente seus ortocentro e circuncentro, interiores ao triângulo e não pertencentes aos lados. Calcule o ângulo $widehat{HEO}$ , sabendo que os ângulos $widehat{EIH} = 2widehat{HIO}$

Gabarito:

Resolução:

$angle MOT=angle EOT = 60^o$

$Delta TOG=Delta IHGRightarrow frac{IH}{OT}=frac{HG}{GO}Rightarrow IH=2.OT$

Também sabemos que $IO=OM=EM$ e $2.OT=OM Rightarrow angle EIM=60^o$

Seja, por relação de arcos:

$angle EOI = 2.angle EMI$ e $angle EOI = angle OIE=90^o-angle EMI ightarrow (OI=OE)$

Se $angle IEM = 180^o-angle EIM-angle IME=120^o-angle EMI$

$angle HIE = 2.angle HIO Rightarrow angle EMI - 30^o=2.(120^o-2.angle EMI)$

$5.angle EMI = 270^o ightarrow angle EMI = 54^o$

Portanto, $angle HEO = angle OEI - angle HEI = 90^o-angle EMI - (90^o-angle EIM)=6^o$ .

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