Questão 5906

Gabarito:

apenas a 1 é verdadeira

Resolução:

I) Seja (p,q)∈R², se (p,q)∈(A-B)xC, então p∈(A-B) e q∈C. Temos que p∈A e p∉B e q∈C. Podemos juntar o primeiro e o último: p∈A e q∈C = (p,q)∈(AxC), mas como p∉B, (p,q)∉(BxC). Logo temos o seguinte: (p,q)∈(AxC) e (p,q)∉(BxC) que é o mesmo de (p,q)∈((AxC)-(BxC)). Então: (A-B)xC=(AxC)-(BxC). Correto.

II) Seja (p,q)∈R², se (p,q)∈(A-B)xC, então p∈(A-B) e q∈C. Temos que p∈A e p∉B e q∈C. Será que é o mesmo que (p,q)∈((AxB)-(BxC)), para isso, (p,q) teria que pertencer a (AxB), que é p∈A e q∈B, mas não se sabe se q∈B. Falso.

III) Seja p∈((A∩B)-A), ou seja, p∈(A∩B) e p∉A. Temos que p∈(A∩B) é o mesmo que p∈A e p∈B. Então temos: p∈A e p∈B e p∉A, não existe nenhum p para que tal aconteça, logo (A∩B)-A=∅. O mesmo vai acontecer para (B∩A)-B=∅. Logo (A∩B)-A=(B∩A)-B=∅. Falso.

IV) Seja p∈(A-(B∪C)), ou seja, p∈A e p∉(B∪C), que é o mesmo que p∈A e p∉B e p∈A e p∉C. Podemos fazer o seguinte: p∈A e p∉B quer dizer que p∈(A-B). E p∈A e p∉C quer dizer que p∈(A-C). Ou seja, dizer que p∈(A-(B∪C)) é o mesmo que dizer que p∈(A-B) e p∈(A-C), logo p∈((A-B)∩(A-C)). Então temos que A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C). Falso.

V) Seja p∈((A-B)∩(B-C)), ou seja, p∈(A-B) e p∈(B-C), que é o mesmo que p∈A e p∉B e p∈B e p∉C. Pelas condições do meio, não existe p para tal. Então (A-B)∩(B-C)=∅. Agora vamos ver o outro lado da igualdade: Seja p∈((A-C)∩(A-B)), ou seja, p∈(A-B) e p∈(A-C), que é o mesmo que p∈A e p∉B e p∈A e p∉C, que dá em p∈A e p∉B e p∉C que é o mesmo que p∈A e p∉(B∪C), que é o mesmo que p∈(A-(B∪C)). Logo (A-C)∩(A-B)=A-(B∪C), que necessariamente não é vazio. Falso.

Só o item I é correto.

 

Qualquer dúvida ou sugestão, pessoal, comentem!!