Questão 7627

Gabarito:

Resolução:

Interpretações geométricas das equações:

1)

|z - 3i| = 3

|z - (0 + 3i)| = 3

A distância de z até o complexo w = (0 + 3i) é sempre igual a 3, logo, temos aqui uma circunferência de centro (0; 3) no plano Argand-Gauss e de raio igual a 3.

2)

|z + i| = |z - 2 - i|

|z - (0 - i)| = |z - (2 + i)|

A distância de z até o complexo p = (0 - i) é igual a distância de z até o complexo q = (2 + i). Sendo assim, z deve estar na mediatriz do segmento que une os afixos de p e q.

 

Agora vamos partir para a geometria analítica apenas:

Seja z = x + yi

1) A circunferência tem centro (0; 3) e raio 3: 

x² + (y - 3)² = 3²

 

2) O coeficiente angular da reta suporte do segmento que une p e q é m:

m = (1 - (-1))/(2 - 0) = 1

O ponto médio P do segmento que une p e q é:

Xp = (0+2)/2 = 1

Yp = (-1 + 1)/2 = 0

P(1;0)

Como a mediatriz é perpendicular à reta suporte do segmento que une p e q, então seu coeficiente angular é m' = -1/m = -1

Logo, a mediatriz é:

y - Yp = m' (x - Xp)

y - 0 = -1(x - 1)

y = -x + 1

 

Agora é só resolver um sistema com 1) e 2) para encontrar os complexos:

x² + (y - 3)² = 3² (I)

y = -x + 1 (II)

Substituindo x de (II) em (I), temos:

(-y + 1)² + (y - 3)² = 9

y² - 2y + 1 + y² - 6y + 9 = 9

2y² - 8y + 1 = 0

Resolvendo com Bhaskara:

y₁ = (4 + √14)/2    ou   y₂ = (4 - √14)/2

Substituindo em (II), temos que:

x₁ = (-2 - √14)/2    ou   x₂ = (-2 + √14)/2

Logo,

z₁ = (-2 - √14)/2 + (4 + √14)/2 i 

z₂ = (-2 + √14)/2 + (4 - √14)/2 i 

Multiplicando z₁ * z₂, temos:

-3 + 3i