Questão 7628

ITA 1997

Matemática

(Ita 1997) Considere os números complexos e $w=1+i{sqrt{3}}$ .

Se , então m vale:

Gabarito:

Resolução:

Podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:

$egin{vmatrix} frac{(w^3)^2+3(z^2)^2+4i}{z^2+w^3+6-2i} end{vmatrix}^2$

Calculamos então z² e w³:
$z^2=(sqrt2+isqrt2)^2 ightarrow 2+4i-2=4i$

$\w^3=(1+isqrt3)^2cdot(1+isqrt3) ightarrow (1+2isqrt3-3)(1+isqrt3) ightarrow (-2+isqrt3)(1+isqrt3)$

$\w^3= -2-2isqrt3+2isqrt3-6=-8$

Então:

$\z^4=-16\ w^6=64$

Substituindo na equação:

$egin{vmatrix} frac{64-3cdot16+4i}{4i-8+6-2i} end{vmatrix}^2 ightarrow egin{vmatrix} frac{16+4i}{-2+2i} end{vmatrix}^2 ightarrow egin{vmatrix} frac{8+2i}{-1+1i} end{vmatrix}^2$

Multiplicamos em cima e embaixo por -1-i, para sumir com esse denominador complexo:

$egin{vmatrix} frac{(8+2i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} end{vmatrix}^2 ightarrow egin{vmatrix} frac{-8-8i-2i+2}{(1+i-i+1)} end{vmatrix}^2 ightarrow egin{vmatrix} frac{-6-10i}{2} end{vmatrix}^2 ightarrowegin{vmatrix} -3-5i end{vmatrix}^2$

Pela definição do módulo:

$(sqrt{(-3)^2+(-5)^2})^2 ightarrow (sqrt{9+25})^2=34$

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