Questão 8174

ITA 1997

Matemática

(Ita 1997) Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se uma pirâmide regular cuja base é a base maior do tronco e cujo vértice é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem a cm e 2a cm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. A altura (em cm) do tronco mede

Gabarito:

Resolução:

Sejam h a altura do tronco de pirâmide. $g_T$ o apótema do tronco, $g_p$ o apótema da pirâmide, $A_T$ a área lateral do tronco e $A_p$ a área lateral da pirâmide.

I) Como $A_T=A_p$ , temos:

$4 cdot A_{BCGF} = 4 cdot A_{Delta BCO_1}$

$frac{(2a+a) cdot g_T}{2}=frac{2a cdot g_p}{2}$

$g_p=frac{3g_T}{2}$

II) No $Delta O_1O_2M$ temos $a^2+h^2=g_p^2$

III) No $Delta NRM$ temos: $left ( frac{a}{2} ight )^2+h^2=g_T^2$

IV) Substituindo $g_p=frac{3g_T}{2}$ na equação obtida em II, temos:

$left{egin{matrix} a^2 + h^2 = frac{9g_T^2}{4} \ frac{a^2}{4}+h^2=g_T^2 end{matrix} ight. Rightarrow a^2+h^2=frac{9}{4} cdot left ( frac{a^2}{4}+h^2 ight )$

$20h^2=7a^2$

$oxed{h=frac{a sqrt{35}}{10}}$

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