Questão 5899

ITA 2000

Matemática

(ITA - 2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que , , , e . Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a

11.

14.

15.

18.

25.

Gabarito:

18.

Resolução:

Da união de 3 conjuntos, temos que:

$n(A cup B cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A cap B) - n(A cap C)- n(B cap C)+ n(A cap B cap C)$

Porém não são dadas as intercessões entre dois conjuntos, e sim as uniões entre dois conjuntos.

Mas podemos isolar as intercessões através das uniões:

$n (A cup B)=n (A)+ n(B)-n(A cap B) Rightarrow n(A cap B) =n (A)+ n(B)-n (A cup B)$

$n (A cup C)=n (A)+ n(C)-n(A cap C) Rightarrow n(A cap C) =n (A)+ n(C)-n (A cup C)$

$n (B cup C)=n (B)+ n(C)-n(B cap C) Rightarrow n(B cap C) =n (B)+ n(C)-n (B cup C)$

Assim, substituindo isto na união de 3 conjuntos:

$n(A cup B cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n (A)- n(B)+n (A cup B) - n (A)- n(C)+n (A cup C)- n (B)- n(C)+n (B cup C)+ n(A cap B cap C)$

Substituindo os valores que conhecemos:

$11=n(A)+n(B)+n(C)-n (A)- n(B)+ 8- n (A)- n(C)+ 9- n (B)- n(C)+ 10+ 2$

Simplificando:

$11=8- n (A)+ 9- n (B)- n(C)+ 10+ 2$

Organizando:

$n(A)+n(B)+n(C)= 8 + 9 + 10 + 2 - 11$

$n(A)+n(B)+n(C)= 29 - 11$

$n(A)+n(B)+n(C)= 18$

Alternativa D.

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