Questão 4

ITA 2002

Física

(ITA - 2002 - 1a Fase)

Um sistema é composto por duas massas idênticas ligadas por uma mola de constante k, e repousa sobre uma superfície plana, lisa e horizontal. Uma das massas é então aproximada da outra, comprimindo 2,0 cm da mola. Uma vez liberado, o sistema inicia um movimento com o seu centro de massa deslocando com velocidade de 18,0 cm/s numa determinada direção. O período de oscilação de cada massa é

0,70 s

0,35 s

1,05 s

0,5 s

indeterminado, pois a constante da mola não é conhecida.

Gabarito:

0,35 s

Resolução:

Pela Figura, temos 2 massas A e B ligadas por uma mola de constante elástica K

1) A velocidade de translação do centro de massa não influencia no período do MHS, portanto, calcularemos o período com o CM parado

2) As forças trocadas no eixo x, são internas ao sistema

Podemos calcular tal período de algumas formas distintas:

MÉTODO 1:

Como o CM está imóvel, podemos imaginar ele como uma "parede" e que cada massa oscila exatamente em torno do CM com uma mola de comprimento correspondente.

Como a constante da mola é inversamente proporcional ao comprimento natural da mola, temos:

$Kcdot L = cte$

Podemos calcular a distância de A até o CM, por exemplo, por:

$m_{A}cdot x = m_{B}cdot(L-x)Rightarrow x = Lcdot (frac{m_{B}}{m_{A}+m_{B}})$

Logo, a constante da mola equivalente em A:

$Kcdot L = K_{A}cdot Lcdot (frac{m_{B}}{m_{A}+m_{B}})Rightarrow K_{A} = Kcdot frac{m_{A}+m_{B}}{m_{B}}$

Agora, podemos usar a fórmula do período de um sistema de massa-mola:

$T = 2pi cdot sqrt{frac{m}{K_{eq}}}$

$T = 2pi cdot sqrt{frac{m_{A}cdot m_{B}}{Kcdot(m_{A}+m_{B})}}$

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MÉTODO 2:

Podemos calcular esse período também com uso da energia total do sistema. Para isso, fazemos:

$E_{Total} = E_{mecanica} + E_{cinetica}$

$E_{Total} = frac{kx^2}{2} + frac{m_{A}v_{A}^2}{2} + frac{m_{B}v_{B}^2}{2}$

devemos deixar apenas em função da posição e velocidades de A ou B em relação ao CM. Daí:

$x = x_{A} + x_{B}$

$m_{A}x_{A} = m_{B}x_{B}$

$herefore x = x_{A}cdot frac{m_{A}+m_{B}}{m_{B}}$

Para a velocidade:

$m_{A}v_{A} = m_{B}v_{B}Rightarrow v_{B} = v_{A}cdot frac{m_{A}}{m_{B}}$

Substituindo tais relações na equação da energia, temos:

$E_{Total} = frac{kx_{A}^2}{2}cdot(frac{m_{A}+m_{B}}{m_{B}})^2 + frac{m_{A}v_{A}^2}{2} + frac{m_{A}^2v_{A}^2}{2m_{B}}$

$E_{Total} = (frac{m_{A}+m_{B}}{m_{B}})cdot (frac{kx_{A}^2}{2}cdot(frac{m_{A}+m_{B}}{m_{B}}) +frac{m_{A}v_{A}^2}{2})$

Como a energia total do sistema é constante, pois o sistema é conservativo, então

$frac{dE_{Total}}{dt} = 0 Rightarrow kx_{A}cdot v_{A}cdot(frac{m_{A}+m_{B}}{m_{B}}) +m_{A}cdot v_{A}cdot a_{A} = 0$

$herefore a_{A}= -kcdot(frac{m_{A}+m_{B}}{m_{B}cdot m_{A}}) cdot x_{A}$

Do MHS, temos:

$a = -omega ^2 x$

$herefore omega = frac{2pi}{T}$

$T = 2pi cdot sqrt{frac{m_{A}cdot m_{B}}{Kcdot(m_{A}+m_{B})}}$

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MÉTODO 3:

Podemos também, obter tal período pelo referencial não inercial.

Pela 2° Lei de Newton:

$F_{r} = ma$

$Kx = m_{A}a_{A} = m_{B}a_{B}$

$a_{B} = a_{A}cdot frac{m_{A}}{m_{B}}$

Agora devemos adicionar a força fictícia como na figura:

Logo, podemos escrever que:

$F_{r} = m_{A}a_{A} = -kx -m_{A}a_{B} = -kx -m_{A}a_{A}cdot frac{m_{A}}{m_{B}}$

Logo:

$herefore a_{A}= -kcdot(frac{m_{A}+m_{B}}{m_{B}cdot m_{A}}) cdot x_{A}$

E, analogamente ao que já foi feito no Método 2:

$T = 2pi cdot sqrt{frac{m_{A}cdot m_{B}}{Kcdot(m_{A}+m_{B})}}$

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/MÉTODO 4:

Como o sistema é conservativo e apenas com forças internas, podemos fixar um dos corpos e alterar a massa do outro pela MASSA REDUZIDA do sistema

A massa reduzida do sistema é dada por:

$frac{1}{m_{red}} = frac{1}{m_{A}}+frac{1}{m_{B}}Rightarrow m_{red} = frac{m_{A}cdot m_{B}}{m_{A}+m_{B}}$

O período desse MHS fica agora idêntico a de um sistema massa-mola. Logo:

$T = 2pi cdot sqrt{frac{m_{red}}{K}}$

$T = 2pi cdot sqrt{frac{m_{A}cdot m_{B}}{Kcdot(m_{A}+m_{B})}}$

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Em particular, para o caso dessa questão, temos

$m_{A} = m_{B} = m$

$T = 2pi cdot sqrt{frac{m}{2K}}$

Falta ainda descobrirmos a relação entre m e K usando a energia do sistema:

$E = frac{mV_{1}^2}{2}+frac{mV_{2}^2}{2} +frac{Kx^2}{2}$ (*)

Pela conservação da quantidade de movimento:

$mV_{1} +mV_{2} = 2mV_{CM}$

No caso de deformação máxima x=A, então ambos os corpos tem iguais velocidades que são iguais a velocidade do CM. Logo, em (*):

$E_{x=A} = mV_{CM}^2+frac{KA^2}{2}$

No caso de x = 0 (sem deformação), o que ocorre é que um dos corpos está parado pois transferiu toda sua quantidade de movimento para o outro, logo:

$V_{2} = 0$

$V_{1} = 2V_{CM}$

Então, em (*):

$E_{x=0} = frac{mV_{1}^2}{2}$ substituindo $V_{1} = 2V_{CM}$ temos:

$E_{x=0}=2mV_{CM}^{2}$

Logo, da conservação de energia: $E_{x=0} = E_{x=A}$

$2mV_{CM}^{2} =mV_{CM}^{2} + frac{KA^{2}}{2}$

$mV_{CM}^{2} = frac{KA^{2}}{2} ightarrow frac{2V_{CM}^{2}}{A^{2}}=frac{K}{m}$

Substituindo no período:

$T = 2pi cdot frac{A}{2V_{CM}} = 2pi cdot frac{0,02}{2cdot 0,18}approx 0,35s$

Dúvidas ou sugestões? Comentem !!!

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