Questão 6

ITA 2005

Matemática

(ITA - 2005 - 1 FASE ) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual

$frac{4}{5}$

$frac{2 + sqrt{3}}{5}$

$frac{1}{2}.sqrt{2 + sqrt{3}}$

$frac{1}{4}.sqrt{4 + sqrt{3}}$

$frac{1}{3}.sqrt{2 + sqrt{3}}$

Gabarito:

$frac{1}{2}.sqrt{2 + sqrt{3}}$

Resolução:

Sejam $a$ e $b$ os catetos do triângulo, e $h$ sua hipotenusa. Uma propriedade importante para resolver esta questão é que em triângulos retângulos, a mediana relativa à hipotenusa é igual as metades da hipotenusa que ela corta, assim, a mediana é igual a $frac{h}{2}$ . Vamos interpretar isto no triângulo:

Note que isto promove 2 triângulos isósceles internos ao triângulo retângulo.

Pela relação dada no enunciado:

$frac{h}{2} = sqrt{a cdot b}$

$frac{h^2}{4} = a cdot b$

$h^2 = 4ab$

Pelo teorema de pitágoras, sabemos que:

$a^2 + b^2 = h^2$

$a^2 + b^2 = 4ab$

$a^2 + b^2 -4ab = 0$

Podemos dividir tudo por b²:

$frac{a^2}{b^2}+ frac{b^2}{b^2} -frac{4ab}{b^2} = 0$

$(frac{a}{b})^2+ 1-4(frac{a}{b}) = 0$

$(frac{a}{b})^2-4(frac{a}{b})+ 1 = 0$

Note que isto é uma equação de segundo grau em função de $frac{a}{b}$ , resolvendo a:

$Delta = (-4)^2 - 4cdot 1 cdot 1 = 16-4 = 12$

$sqrt{Delta} = sqrt{12} = 2sqrt{3}$

$frac{a}{b} = frac{4pm 2sqrt{3}}{2} = 2 pm sqrt{3}$

Note que ambos os valores são positivos, e o fato é que qualquer um deles pode ser utilizado. Utilizando $+sqrt{3}$ assumimos que a é o maior cateto, utilizando $-sqrt{3}$ assumimos que b é o menor cateto. De toda forma:

Temos que um dos cossenos do ângulo deve ser:

$cos = frac{a}{h} = frac{a}{2sqrt{ab}}$

$frac{a}{2sqrt{ab}} =frac{sqrt{a^2}}{2sqrt{ab}} = frac{1}{2} cdot frac{sqrt{a^2}}{sqrt{ab} } = frac{1}{2} cdot sqrt{frac{a}{b}}$

Utilizando um dos valores da equação de segundo grau:

$frac{1}{2} cdot sqrt{frac{a}{b}} = frac{1}{2} cdot sqrt{2+sqrt{3}}$

Note que este é definitivamente um dos valores do cosseno, pois se fosse utilizada raiz negativa da equação de segundo grau, este seria o cosseno do outro ângulo, e é portanto a resposta correta.

Alternativa C.

Questão 6

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