Questão 8

ITA 2005

Matemática

(ITA - 2005) Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão πr³/45. Se o volume da menor cunha for igual a πr³/18, então n é igual a

Gabarito:

Resolução:

Há n cunhas de volumes $V_1,V_2,V_3...,V_n$ que estão em P.A.

$V_1=frac{ pi r^3}{18}$

$V_{semiesfera}=frac{1}{2}*frac{4pi r^3}{3}$

$Razao:; r= frac{pi r^3}{45}$

Pela soma dos termos de uma P.A., teremos o volume total da semiesfera:

$frac{1}{2}frac{4 pi r^3}{3}=(V_1+V_n)frac{n}{2}$

Mas $V_n=V_1+(n-1)r$

Então temos:

$frac{1}{2}frac{4 pi r^3}{3}=[V_1+V_1+(n-1)r]frac{n}{2}$

Substituindo os valores dados de V₁ e r':

$frac{1}{2}frac{4 pi r^3}{3}=[2frac{pi r^3}{18}+(n-1)frac{pi r^3}{45}]frac{n}{2}$

Simplificando os termos em comum dos dois lados da equação:

$frac{4}{3}=(frac{1}{9}+frac{n-1}{45})n$

$n^2+4n-60=0$

$n=6; ; n=-10$

Logo, como n é número de planos, n=6.

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