Questão 16

ITA 2005

Matemática

(ITA - 2005 - 1 FASE ) O intervalo I ⊂ ℜ que contém todas as soluções da inequação $arctan (frac{1+X}{2}) +arctan (frac{1-X}{2}) geq frac{pi}{6}$ é

[-1,4].

[-3, 1].

[-2,3].

[0,5].

[4,6].

Gabarito:

[-2,3].

Resolução:

Para resolver esta questão, é importante lembrar que o arcotangente é, acima de tudo, um arco. Ou seja, a inequação apresentada na questão é a soma de dois arcos:

$arctan (frac{1+X}{2}) +arctan (frac{1-X}{2}) geq frac{pi}{6}$

Aplicando a função tangente dos dois lados, temos:

$tg(arctan (frac{1+X}{2}) +arctan (frac{1-X}{2}) )geq tg(frac{pi}{6})$

Substituindo o valor conhecido:

$tg(arctan (frac{1+X}{2}) +arctan (frac{1-X}{2}) )geq frac{sqrt{3}}{3}$

Por se tratar de uma soma de arcos da função tangente, podemos substituir na transformação da adição de arcos da tangente:

$tg(a+b)= frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a)cdot tg(b)}$

$frac{frac{1+x}{2}+frac{1-x}{2}}{1-(frac{1+x}{2})cdot(frac{1-x}{2})}geq frac{sqrt{3}}{3}$

$frac{frac{2}{2}}{1-frac{1-x^2}{4}}geq frac{sqrt{3}}{3}$

$frac{1}{frac{4-1+x^2}{4}}geq frac{sqrt{3}}{3}$

$frac{1}{frac{3+x^2}{4}}geq frac{sqrt{3}}{3}$

$frac{4}{x^2+3}geq frac{sqrt{3}}{3}$

$frac{4}{x^2+3}-frac{sqrt{3}}{3}geq 0$

$frac{4cdot3 - sqrt{3}(x^2+3)}{3(x^2+3)}geq 0$

$frac{12 - sqrt{3}(x^2+3)}{3(x^2+3)}geq 0$

Observemos que como $x^2+3$ é sempre maior que 0 para todo x, o denominador já é sempre positivo, basta que o numerador seja positivo ou 0 também.

$12- sqrt{3}(x^2+3) geq 0$

$12 geq sqrt{3}(x^2+3)$

$frac{12}{sqrt{3}} geq (x^2+3)$

$4sqrt{3} geq x^2+3$

Aproximando o valor de $sqrt{3}$

$4 cdot 1,7 geq x^2 + 3$

$6,8 geq x^2 + 3$

$3,8 geq x^2$

Que podemos notar, é um valor um pouco menor do que o intervalo [-2, 2], visto que x² = 4.

Assim, a única alternativa que contém todas as soluções é C.

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