Questão 12

ITA 2005

Matemática

(ITA - 2005) O menor inteiro positivo n para o qual a diferença fica menor que 0,01 é

2499.

2501.

2500.

3600.

4900.

Gabarito:

2501.

Resolução:

Resolução 1:

Temos que $sqrt{n}-sqrt{n-1}=frac{(sqrt{n}-sqrt{n-1})*(sqrt{n}+sqrt{n-1})}{sqrt{n}+sqrt{n-1}} = frac{1}{sqrt{n}+sqrt{n-1}}$

Logo, temos que:

$\ extrm{Se};;sqrt{n}-sqrt{n-1}<0,01;;;;Rightarrow ;frac{1}{sqrt{n}+sqrt{n-1}}<0,01\\\sqrt{n}+sqrt{n-1}>100$

Desenvolvendo temos a primeira e segunda relação:

$sqrt{n}-sqrt{n-1}<0,01;;;;Rightarrow ;-sqrt{n}+sqrt{n-1}>-0,01; extbf{(1)}\\\sqrt{n}+sqrt{n-1}>100; extbf{(2)}\\ extrm{Somando}; extbf{(1)}; extrm{e}; extbf{(2)}:\\\2sqrt{n-1}>100-0,01\\ 4(n-1)>(100-0,01)^2;;;;Rightarrow 4(n-1)>10000-2\\n-1>frac{9998}{4};;;;;;Rightarrow n>2:500,5\\$

O menor valor inteiro que n pode assumir é 2501.

Resolução 2:

$sqrt{n}-sqrt{n-1}<0.01$

1) Organizando:

$sqrt{n}<0.01+sqrt{n-1}$

2) Elevar os lados ao quadrado:

$n<n+0.02sqrt{n-1}-0.9999$

3) Organizando:

$0.02sqrt{n-1}-0.9999>0$

4) Desenvolvendo:

$sqrt{n-1}>frac{0.9999}{0.02}$

5) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$n-1>left(frac{0.9999}{0.02} ight)^2$

6) Logo,

$n-1>left(49.995 ight)^2$

$n>2500.50002$

O menor valor inteiro que n pode assumir é 2501.

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