Questão 15

ITA 2005

Matemática

(ITA - 2005)

Considere a equação em x

$a^{x+1} = b^{frac{1}{x}}$

onde a e b são números reais positivos, tais que $ln b = 2 ln a > 0$ . A soma das soluções da equação é

-1.

ln 2.

Gabarito: -1.

Resolução:

$a^{x+1} = b^{frac{1}{x}}$

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados da equação,

$ln: a^{x+1} = ln: b^{frac{1}{x}}$

Utilizando a propriedade do logaritmo de que

$log, _{b}: a^{n} = n; log, _{b}: a$ , $(x+1) ln : _{a} = frac{1}{x} cdot ln , b$

Substituindo

$ln, b = 2, ln, a$ ,

$(x+1) ln : _{a} = frac{1}{x} cdot 2, ln, a$

$x+1 = frac{2}{x}$

$x^{2} + x=2 ightarrow x^{2} +x-2=0 ightarrow (x+2)(x+1)=0$

$x=-2; ; ; ou; ; ; x=1$

Logo , a soma das soluções da equação é

$-2+1=-1$

Alternativa correta Letra B

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