Questão 14

ITA 2005

Matemática

(ITA - 2005 - 1 FASE ) O número complexo 2 + i é raiz do polinômio f(x) = x⁴ + x³ + px² + x + q, com p, q ∈ IR. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é

-4.

-5.

Gabarito: -5.

Resolução:

Sendo $f(x) = x^4+x^3+px^2+x+q$ , sendo $r_1 = 2 + i$ raiz do polinômio f(x), então $r_2 = 2 - i$ também será raiz de f(x).

Utilizando as relações de Girard e sendo $r_3$ e $r_4$ as outras raízes do polinômio, então temos:

$r_1+r_2 +r_3+r_4 = -1 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (2+i)+(2-i)+r_3+r_4 = -1 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow r_3+r_4 = -5$

Além disso, temos:

$(2+i)(2-i)cdot r_3 + (2+i)(2-i)cdot r_4 + (2+i)cdot r_3 cdot r_4 + (2-i)cdot r_3 cdot r_4 = -1 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 5r_3 + 5r_4 + 4r_3r_4= -1 Leftrightarrow 5(r_3+r_4)+4r_3r_4 = -1$

Substituindo a equação anterior, temos:

$5(-5) + 4r_3r_4 = -1 Leftrightarrow 4r_3r_4 =24$

Construindo um sistema de equações com as equações obtidas e resolvendo, temos:

$egin{cases} r_3+r_4=-5 \ 4r_3r_4 = 24 end{cases} Leftrightarrow egin{cases} r_3+r_4=-5 \ r_3r_4 = 6 end{cases} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow egin{cases} r_3=-2 \ r_4 = -3 end{cases} ext{ ou } ext{ } egin{cases} r_3=-3 \ r_4 = -2 end{cases}$

Dessa forma a soma das raízes será $-2 -3 = -5$ .

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