Questão 19

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Sejam $P_1$ e $P_2$ octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo $A_1$ a área de $P_1$ e $A_2$ a área de $P_2$ , então a razão $A_1/A_2$ é igual

A

$sqrt{{5}/{8}}$

B

$9sqrt2/16$

C

$2(sqrt{2}-1)$

D

$(4sqrt{2}+1)/8$

E

$(2+sqrt2)/4$

Gabarito:

$(2+sqrt2)/4$

Resolução:

1) Área do octógono inscrito:

• Área de um dos triângulos: $a=frac{R cdot Rsen(45^circ)}{2}=frac{R^2sqrt{2}}{4}$

• Área total de $P_1$ : $A_1=8frac{R^2sqrt{2}}{4}=2sqrt{2}R^2$

2) Área do octógono circunscrito:

$frac{B}{R}=tan(22,5^circ)=sqrt{frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}}}$

$B=sqrt{frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}}}R$

• Área de um dos triângulos: $b=frac{R cdot 2B}{2}=RB$

$b=sqrt{frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}}}R^2$

• Área total de $P_2$ : $A_2=8sqrt{frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}}}R^2$

3) Razão $frac{A_1}{A_2}$ .

$frac{A_1}{A_2}=frac{2sqrt{2}R^2}{8sqrt{frac{2-sqrt{2}}{2+sqrt{2}}}R^2}$

$frac{A_1}{A_2}=frac{sqrt{2}}{4sqrt{frac{(2-sqrt{2})^2}{2}}}$

$frac{A_1}{A_2}=frac{2}{4sqrt{6-4sqrt{2}}}$

$frac{A_1}{A_2}=frac{1}{2sqrt{6-4sqrt{2}}}$

$left (frac{A_1}{A_2} ight )^2=frac{1}{24-16sqrt{2}} cdot frac{24+16sqrt{2}}{24+16sqrt{2}}$

$left (frac{A_1}{A_2} ight )^2=frac{24+16sqrt{2}}{64}$

$left (frac{A_1}{A_2} ight )^2=frac{6+4sqrt{2}}{16}$

$left (frac{A_1}{A_2} ight )^2=frac{(2+sqrt{2})^2}{16}$

$frac{A_1}{A_2}=frac{2+sqrt{2}}{4}$

Alternativa correta é Letra E.

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