Questão 20

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede $sqrt{3}$ cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual 1 cm³ e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é ${1}/{sqrt{2}}$ , a altura do tronco, em centı́metros, é igual a

A

$(sqrt6-sqrt2)/4$

B

$(sqrt6-sqrt3)/3$

C

$(3sqrt3-sqrt6)/21$

D

$(3sqrt2-2sqrt3)/6$

E

$(2sqrt6-sqrt2)/22$

Gabarito:

$(3sqrt3-sqrt6)/21$

Resolução:

1) Trabalhando com o triângulo da figura:

$tan(30^circ)=frac{1}{sqrt{3}}=frac{L}{2a}$

$frac{1}{sqrt{3}}=frac{L}{2sqrt{3}}$

$L=2$

Se a razão entre as alturas é $frac{1}{sqrt{2}}$ , então a razão entre os lados das bases também é essa:

$frac{1}{sqrt{2}}=frac{l}{L}$

$l=sqrt{2}$

Se a altura da pirâmide original é H, então a altura da pirâmide menor é $h=frac{H}{sqrt{2}}$ .

2) Volume de uma pirâmide de base hexagonal é dada por:

$V=6cdot frac{sqrt{3}cdot lado^2}{4}cdot frac{altura}{3}$

$V=frac{sqrt{3}cdot lado^2cdot altura}{2}$

Assim:

$V_{maior}=frac{sqrt{3}cdot L^2cdot H}{2}$

$V_{maior}=frac{sqrt{3}cdot 4cdot H}{2}=2sqrt{3}H$

E também:

$V_{menor}=frac{sqrt{3}cdot l^2cdot H}{2sqrt{2}}$

$V_{menor}=frac{sqrt{3}cdot2cdot H}{2sqrt{2}}=frac{sqrt{6}H}{2}$

3) Diferença dos volumes é 1:

$2sqrt{3}H-frac{sqrt{6}H}{2}=1$

$4sqrt{3}H-sqrt{6}H=2$

$H=frac{2}{4sqrt{3}-sqrt{6}}$

Altura do tronco é:

$p=H-h=Hleft ( 1-frac{sqrt{2}}{2} ight )$

$p=frac{2}{4sqrt{3}-sqrt{6}}left (frac{2-sqrt{2}}{2} ight )$

$p=frac{2-sqrt{2}}{4sqrt{3}-sqrt{6}} cdot frac{4sqrt{3}+sqrt{6}}{4sqrt{3}+sqrt{6}}$

$p=frac{8sqrt{3}+2sqrt{6}-4sqrt{6}-2sqrt{3}}{42}$

$p=frac{6sqrt{3}-2sqrt{6}}{42}$

$p=frac{3sqrt{3}-sqrt{6}}{21}$

Alternativa correta é Letra C.

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