Questão 21

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 2 fase - Questão 21)

Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que

$Acup Bcup C= left { xin mathbb{R} :x^{2}+xgeq 2 ight }$

$Acup B= left { xin mathbb{R} :8^{-x}-3cdot 4^{-x}-2^{2-x}> 0 ight }$

$Acap C= left { xin mathbb{R} :log(x+4)leq 0 ight }$

$Bcap C= left { xin mathbb{R} :0leq 2x+7< 2 ight }$

Gabarito:

Resolução:

Primeiro intervalo: $Acup Bcup C= left { xin mathbb{R} :x^{2}+xgeq 2 ight }$

$x^2+x-2geq 0$

$(x+2)(x-1)geq 0$

$Acup Bcup C=(-infty ,-2]cup [1, +infty )$

Segundo intervalo: $Acup B= left { xin mathbb{R} :8^{-x}-3cdot 4^{-x}-2^{2-x}> 0 ight }$

Chamando $2^{-x}$ de z:

$z^3-3z^2-4z > 0$

$z(z^2-3z-4) > 0$

Como z é sempre maior que zero, o sinal é definido pela inequação $z^2-3z-4> 0$ .

$(z-4)(z+1)> 0$

$z<-1$ ou $z>4$

$2^{-x}<-1$ → não tem solução

$2^{-x}> 4=2^2$

$-x>2$

$x<-2$

$Acup B=(-infty ,-2)$

Terceiro intervalo: $Acap C= left { xin mathbb{R} :log(x+4)leq 0 ight }$

$x+4leq 1$

$xleq -3$

Condição de existência:

$x+4 >0$

$x >-4$

$Acap C=(-4,-3]$

Quarto intervalo: $Bcap C= left { xin mathbb{R} :0leq 2x+7< 2 ight }$

$-7leq 2xleq -5$

$-frac{7}{2} leq xleq -frac{5}{2}$

$Bcap C=[-frac{7}{2}, -frac{5}{2}]$

1) Pelas propriedades dos conjuntos:

$C=[(Acup Bcup C)-(Acup B)]cup (Acap C)cup (Bcap C)$

⇒ $(Acup Bcup C)-(Acup B)={ -2 }cup [1, +infty )$

⇒ $(Acap C)cup (Bcap C)=(-4 ,-frac{5}{2}]$

O conjunto C é a união dos 2 intervalos:

$C=(-4, -frac{5}{2}]cup { -2 }cup [1, +infty )$

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