Questão 22

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 2 fase - Questão 22)

Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que

$frac{ar{z}}{z-2i}+frac{2z}{ar{z}+2i}=3; ; e; ; 0< left | z-2i ight |leq 1$

Gabarito:

Resolução:

$frac{ar{z}}{z-2i}+frac{2z}{ar{z}+2i}=3; ; e; ; 0< left | z-2i ight |leq 1$

Note que, se denominarmos $frac{ar{z}}{z-2i}=x$ , então temos que $x+2ar{x}=3$ .

Se tomarmos x como $x=a+bi$ :

$x+2ar{x}=3$

$a+bi+2a-2bi=3$

$a=1$ e $b=0$

Assim:

$frac{ar{z}}{z-2i}=1$

$ar{z}=z-2i$

Chamando z de $z=c+di$ :

$c-di-c-di+2i=0$

$-2di+2i=0$

$d=1$

Como $|z-2i|leq 1$ :

$|z-2i|=|c+(1-2)i|=|c-i|=sqrt{c^2+1}leq 1$

Notamos que c deve ser igual a 0.

$A={ 1 }$

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