Questão 23

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 2 fase - Questão 23)

Seja k um número inteiro positivo e

$A_{k}=left { jinmathbb{N}:jleq k; e; mdc(j,k)=1 ight }$

Verifique se $n(A_3)$ , $n(A_9)$ , $n(A_{27})$ e $n(A_{81})$ , estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, especifique a razão.

Gabarito:

Resolução:

Pela descrição do conjunto, entendemos que dentro de $A_k$ estão todos os elementos que são menores que k e coprimos dele, ou seja, não têm fatores comuns com k.

Como queremos descobrir $n(A_3)$ , $n(A_9)$ , $n(A_{27})$ e $n(A_{81})$ , é possível utilizar o mesmo raciocínio para todos, já que em nenhum deles há elementos com fator 3.

No conjunto dos naturais de 1 a n, notamos que $frac{2}{3}$ desses números não tem fator 3 em sua composição, já que $frac{1}{3}$ necessariamente contém. Logo:

$n(A_3)=3 cdot frac{2}{3}=2$

$n(A_9)=9 cdot frac{2}{3}=6$

$n(A_{27})=27 cdot frac{2}{3}=18$

$n(A_{81})=81 cdot frac{2}{3}=54$

Vemos que esses números formam uma PG de razão 3.

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