Questão 25

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 2 fase - Questão 25)

Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema

$logleft [ left ( x+2y ight ) left ( w-3z ight )^{-1} ight ]=0$ ,

$2^{x+3z}-8cdot 2^{y-3z+w}=0$ ,

$sqrt[3]{2x+y+6z-2w}-2=0$ .

Gabarito:

Resolução:

i) $logleft [ left ( x+2y ight ) left ( w-3z ight )^{-1} ight ]=0$

$( x+2y ) ( w-3z )^{-1}=1$

$frac{ x+2y }{w-3z}=1$

$x+2y=w-3z$

ii) $2^{x+3z}-8cdot 2^{y-3z+w}=0$

$2^{x+3z}- 2^{y-3z+w+3}=0$

$x+3z=y-3z+w+3$

$x+6z=y+w+3$

iii) $sqrt[3]{2x+y+6z-2w}-2=0$

$2x+y+6z-2w=8$

• Temos o sistema: $left{egin{matrix} x+2y-w+3z=0\ x-y+6z-w-3=0 \2x+y+6z-2w-8=0 end{matrix} ight.$

Colocando em função de x:

$left{egin{matrix} 2y-w+3z=-x\ y-6z+w+3=x \y+6z-2w-8=-2x end{matrix} ight.$

Somando a terceira equação com a segunda e subtraindo a primeira:

$(y+6z-2w-8)+(y-6z+w+3)-(2y-w+3z)=-2x+x+x$

$-5-3z=0$ → $z=-frac{5}{3}$

Somando a primeira equação com a segunda:

$3y-3z+3=0$

$y=z-1$

$y=-frac{8}{3}$

Substituindo nos valores na segunda equação:

$y-6z+w+3=x$

$-frac{8}{3}+10+w+3=x$

$w=x-frac{31}{3}$

• Condição de existência em $logleft [ left ( x+2y ight ) left ( w-3z ight )^{-1} ight ]=0$ :

$w-3z eq0$

$x-frac{31}{3}+5 eq0$

$x eq frac{16}{3}$

Assim, o conjunto solução de $(x,y,z,w)$ é:

$S={ (x, -frac{8}{3},-frac{5}{3}, x-frac{31}{3}) , x in mathbb{R} -{frac{16}{3}} }$

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