Questão 29

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 2 fase - Questão 29)

Seja C₁ uma circunferência de raio R₁inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja C₂ uma segunda circunferência, de raio R₂, que tangencia dois lados do triângulo internamente e C₁ externamente. Calcule (R₁ − R₂)/h.

Gabarito:

Resolução:

$AF=frac{2h}{3}-R_1-R_2$

Por semelhança de triângulos:

$frac{DG}{EF}=frac{AG}{AF}$

$frac{R_1}{R_2}=frac{frac{2h}{3}}{frac{2h}{3}-R_1-R_2}$

$frac{2h}{3}R_2=frac{2h}{3}R_1-R_1^2-R_1R_2$

Mas, notamos pela figura que $R_1=frac{2h}{3}$ .

$frac{2h}{3}R_2=frac{2h^2}{9}-frac{h^2}{9}-frac{h}{3}R_2$

$R_2=frac{2h}{9}-frac{h}{9}=frac{h}{9}$

Assim:

$frac{R_1-R_2}{h}=frac{frac{h}{3}-frac{h}{9}}{h}=frac{2}{9}$

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