Questão 30

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 2 fase - Questão 30)

Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8/3 cm³, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.

Gabarito:

Resolução:

1) Volume do tetraedro:

$V=frac{sqrt{2}l^3}{12}$

$frac{sqrt{2}l^3}{12}=frac{8}{3}$

$l^3=frac{32}{sqrt{2}}=frac{64}{(sqrt{2})^3}$

$l=frac{4}{sqrt{2}}=2sqrt{2}$

Esse valor é a medida da aresta do tetraedro que é a diagonal do cubo, portanto, a aresta do cubo mede 2.

2) Cada esfera de cada vértice só tem $frac{1}{8}$ de seu volume dentro do cubo. Como são 8 vértices, cada um com $frac{1}{8}$ de esfera, temos um total de volume de 1 esfera.

Dessa forma:

$V_{externo}=V_{cubo}-8cdot frac{1}{8}V_{esfera}$

$V_{externo}=(2)^3-frac{4pi}{3}cdot1^3$

$V_{externo}=8-frac{4pi}{3}$

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