Questão 7529

ITA 2007

Matemática

(Ita 2007 - adaptada) Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferências C₁ e C₂, que se tangenciam exteriormente em P : (5, 10). O ponto Q : (10, 12) é o centro de C₁. Determine o raio da circunferência C₂, sabendo que ela tangencia a reta definida pela equação x = y e assinale a opção adequada.

Gabarito:

Resolução:

Seja A e C as projeções ortogonais na reta x=y dos centros das circunferências, e D o ponto de tangência(5,10). B é o ponto de mesma coordenada que D na reta x=y, ou seja (10,10). Note que B e O possuem mesma abcissa, logo DB é perpendicular à OB. Assim, note que o DB é paralelo ao eixo das abcissas, assim o ângulo OBA é 90° menos o ângulo que a reta BO faz com o prolongamento de BD, OBA é 90° menos 45°, ou seja 45°.

Com isso, ganhamos BA= $sqrt{2}$ , por pitágoras BO=2, e que C'OB é também 90°-45°=45°.

Além disso, também por pitágoras, DB= $sqrt{sqrt{29}^{2}-OB^{2}}$ = $sqrt{sqrt{29}^{2}-2^{2}}$ =5

Logo, sen(DOB)=DB/ $sqrt{29}$ =5/ $sqrt{29}$ . Pela relação fundamental da trigonometria, Cos(DOB)=2/ $sqrt{29}$ .

Por fim, note que sen(C'OO')=(R- $sqrt{2}$ )/(R+ $sqrt{29}$ ) . Além disso, C'OO'=DOB-C'OB=DOB-45°.

Logo: sen(C'OO')=sen(DOB-45°)= $frac{sqrt{2}}{2}*(senDOB - cosDOB)=frac{sqrt{2}}{2}(frac{5-2}{sqrt{29}})$ .

Assim sendo, igualando os dois valores de sen(C'OO'):

$frac{sqrt{2}}{2}(frac{3}{sqrt{29}})=frac{R-sqrt{2}}{R+sqrt{29}}$

$R(2sqrt{29}-3sqrt{2})=sqrt{58}*3+2sqrt{58}$

$R=frac{5sqrt{58}}{2sqrt{29}-3sqrt{2}}*frac{2sqrt{29}+3sqrt{2}}{2sqrt{29}+3sqrt{2}}$

$R=frac{5sqrt{58}(2sqrt{29}+3sqrt{2})}{4*29-9*2}$

$R=frac{5(3sqrt{29}+29sqrt{2})}{49}$

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