Questão 3

ITA 2007

Matemática

(ITA - 2007 - 1a Fase)

Considere a equação:

Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é

12.

15.

Gabarito: 6.

Resolução:

$16left ( frac{(1-ix)^2}{1+x^2} ight )^3=left ( frac{(1+i)^2-(1-i)^2}{2} ight )^4$

$16left ( frac{1-2ix-x^2}{1+x^2} ight )^3=left ( frac{1+2i-1-(1-2i-1)}{2} ight )^4$

$16left ( frac{1-2ix-x^2}{1+x^2} ight )^3=left ( frac{4i}{2} ight )^4$

$16left ( frac{1-2ix-x^2}{1+x^2} ight )^3=16$

$left ( frac{1-2ix-x^2}{1+x^2} ight )^3=1$

Temos então, que o termo entre parênteses representa as raizes cúbicas da unidade. Temos três possibilidades:

⇒ $frac{1-2ix-x^2}{1+x^2}=1$

$frac{1-x^2}{1+x^2}=1$

$1-x^2=1+x^2$

$x_1=0$

⇒ $frac{1-2ix-x^2}{1+x^2}=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}i}{2}$ ou $frac{1-2ix-x^2}{1+x^2}=-frac{1}{2}-frac{sqrt{3}i}{2}$

$frac{1-x^2}{1+x^2}=-frac{1}{2}$

$2-2x^2=-1-x^2$

$3=x^2$

$x=pm sqrt{3}$

Soma do quadrado das soluções: $S=( sqrt{3})^2+( -sqrt{3})^2=6$

Alternativa correta é Letra B.

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