Questão 33719

ITA 2012

Matemática

(ITA - 2012 - ADAPTADA)

As retas r1 e r2 são concorrentes no ponto P, exterior a um círculo w. A reta r1 tangencia w no ponto A e a reta r2 ,secante a w, intersecta-a nos pontos B e C diametralmente opostos. A medida do arco AC é 60º e PA mede $sqrt{2}$ cm. Determine a área do setor menor de w definido pelo arco AB.

$frac{2pi}{9},,cm^2$

$frac{5pi}{9},,cm^2$

$frac{pi}{9},,cm^2$

$frac{7pi}{9},,cm^2$

$frac{pi}{3},,cm^2$

Gabarito:

$frac{2pi}{9},,cm^2$

Resolução:

Ao desenhar a figura, observamos que, como o arco AC mede 60º, então o ângulo em O é de 60º também. Além disso, como r₁ é tangente à circunferência, o raio R é perpendicular à r₁ no ponto A. Logo, temos um triângulo retângulo AÔC e usando trigonometria:

$tg60^{circ}=sqrt{3}=frac{sqrt{2}}{R}$

$R=sqrt{frac{2}{3}}$

Como BC é diâmetro, o ângulo central em O do menor arco AB será: 180-60 = 120º.

Logo, a área do menor setor AB é:

$A=frac{120}{360}pi sqrt{frac{2}{3}}^2$

$A=frac{2pi }{9}cm^2$

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