Questão 7

ITA 2012

Matemática

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 7)

Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemática, 32% estudam Química e 36% estudam Física. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam apenas Física e Matemática, enquanto 4% estudam todas as três matérias. Os alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química totalizam 63 estudantes. Determine n.

Gabarito:

Resolução:

Conforme os dados apresentados pelo enunciado, conseguimos montar o seguinte diagrama de Venn.

Do nosso diagrama e do enunciado, temos que:

$x + y = 63$

$a+b+c+x + y+0,04n+0,08n = n Rightarrow a+b+c+x + y+0,12n = n$

Além disso, podemos montar o seguinte sistema:

$egin{cases} a+ 0,08n + 0,04n + y = 0,48n\ b+0,08n+0,04n+x = 0,36n\ c + 0,04n + x + y = 0,32n end{cases} Leftrightarrow$ $egin{cases} a+ 0,12n + y = 0,48n\ b+0,12n+x = 0,36n\ c + 0,04n + x + y = 0,32n end{cases} Leftrightarrow$ $egin{cases} a+ y = 0,36n\ b+x = 0,24n\ c + x + y = 0,28n end{cases}$

Somando as três equações do sistema e substituindo o termo $x+y$ , temos:

$(a+y) + (b+x) + (c+x+y) = 0,36n + 0,24n + 0,28n Leftrightarrow$

$Leftrightarrow a+b+c+126 = 0,88n Leftrightarrow a+b+c = 0,88n-126$ $(i)$

Agora olhando para a equação $a+b+c+x + y+0,12n = n$ e substituindo o termo $x+y$ , temos:

$a+b+c+x + y+0,12n = n Leftrightarrow$

$a+b+c+(63)+0,12n = n Leftrightarrow$

$a+b+c = 0,88n-63$ $(ii)$

Olhando para $(i)$ e $(ii)$ , vemos que a mesma soma $a+b+c$ resulta em valores diferentes, ou seja, conseguimos observar que elas são incompatíveis e portanto, não existe $n$ que satisfaça o sistema.

Questões relacionadas

Questão 1

[ITA 2012 - 1 FASE] Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode se...

Ver questão

Questão 203

[ITA 2012 - 1 FASE] Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma...

Ver questão

Questão 3

[ITA 2012 - 1 FASE] Sejam z = n2(cos 45° + i sen 45°) e w = n(cos 15°+ i sen 15°), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + i)n é real. Então, &eacut...

Ver questão

Questão 205

[ITA 2012 - 1 FASE] Se então um valor para arg (– 2iz) é

Ver questão