Questão 9

ITA 2012

Matemática

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 9)

Determine os valores de $heta epsilon [0,2pi]$ , tais que $log_{tg( heta)}e^{sen( heta)} geq 0.$

Gabarito:

Resolução:

Das condições de existência:

$\tan heta >0\\ tg heta eq 1$

A função será igual a zero quando o logaritmando for 1, mas para esse ângulo a tangente não seria definida, então precisamos apenas analisar os casos em que a função será maior que 0.

Para a função ser maior que 0 temos que, se a tangente for maior que 1 então devemos procurar logaritmando maior que 1, logo senos positivos.

Se a tangente for menor que 1 então devemos procurar logaritmando entre 0 e 1, logo senos negativos.

Então queremos os intervalos em que a tangente seja maior que 1 com seno positivo e que a tangente seja menor que 1 e os senos são negativos.

Esses intervalos são $(frac{pi}{4},frac{pi}{2})cup(pi,frac{5pi}{4})$

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