Questão 10

ITA 2012

Matemática

(ITA 2012 - 2 fase - Questão 10)

As retas $R_1$ e $R_2$ são concorrentes no ponto P, exterior a um círculo $omega$ . A reta $R_1$ tangencia $omega$ no ponto A e a reta $R_2$ intercepta $omega$ nos pontos B e C diametralmente opostos. A medida do arco $widehat{AC}$ é 60° e $overline{PA}$ mede $sqrt{2}$ cm. Determine a área do setor menor de ω definido pelo arco $widehat{AB}$ .

Gabarito:

Resolução:

Construindo a figura relativa ao problema, temos:

Conforme os dados fornecidos pelo enunciado, temos que o arco $AB$ mede $180^{circ} - 60^{circ} = 120^{circ}$ .

Seja $alpha$ a medida do ângulo APB, temos:

$alpha = frac{arco(AB) - arco(AC)}{2} = frac{120^{circ}-60^{circ}}{2} = 30^{circ}$

Olhando para o triângulo retângulo APO, em A, temos:

$tg(alpha) = frac{AO}{AP} Leftrightarrow frac{sqrt{3}}{3} = frac{AO}{sqrt{2}} Rightarrow AO = frac{sqrt{6}}{3}$

Portanto, a área definida pelo arco AB, será:

$frac{120^{circ}}{360^{circ}} cdot pi cdot(AO)^2 =frac{1}{3}cdot pi cdot left ( frac{sqrt{6}}{3} ight ) = frac{2pi}{9}$ cm².

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