Questão 5

ITA 2013

Física

(ITA 2013 - 2 fase - Questão 5)

Em atmosfera de ar calmo e densidade uniforme d_a, um balão aerostático, inicialmente de densidade d, desce verticalmente com aceleração constante de módulo a. A seguir, devido a uma variação de massa e de volume, o balão passa a subir verticalmente com aceleração de mesmo módulo a. Determine a variação relativa do volume em função da variação relativa da massa e das densidades d_a e d.

Gabarito:

Resolução:

Inicialmente tínhamos:

$P_{0} > E$

$m_{0}, V_{0}$

Depois da variação obtemos:

$E > P$

$m = m_{0} + Delta m$

$V = V_{0} + Delta V$

Situação inicial:

$P - E_{0} = m_{0} cdot a$

$d cdot V_{0} cdot g - d_{a} cdot V_{0} cdot g = d cdot V_{0} cdot a$

$a = (frac{d-d_{a}}{d}) cdot g$

Situação final:

$E - P = m cdot a$

$d_{a} cdot (V_{0}+Delta V) cdot g - (m_{0} + Delta m) = (m_{0} + Delta m) cdot (frac{d_{0} - d_{ar}}{d_{0}})cdot g$

$d_{a} (V_{0} +Delta V) - (m_{0} +Delta m) = (m_{0} +Delta m) (frac{d-d_{a}}{d})$

$d_{a} (1+ frac{Delta V}{V_{0}}) - (frac{m_{0}}{V_{0}} + frac{Delta m}{V_{0}}) = (frac{m_{0}}{V_{0}}+ frac{Delta m}{V_{0}})cdot (frac{d-d_{a}}{d})$

$d_{a} (1 + frac{Delta V}{V_{0}}) - (d + frac{Delta m}{m_{0}} cdot d) = (d + frac{Delta m}{m} cdot d) ( frac{d - d_{a}}{d})$

$d_{a}(1 + frac{Delta V}{V_{0}}) = d (1 + frac{Delta m}{m_{0}} ) ( 1 + frac{d-d_{a}}{d})$

$1 + frac{Delta V}{V_{0}} = frac{d}{d_{a}} (1 + frac{Delta m}{m_{0}})(2 - frac{d_{a}}{d})$

$frac{Delta V}{V_{0}} = frac{d}{d_{a}} (1+frac{Delta m}{m})(2 - frac{d}{d_{a}})-1$

$oxed {frac{Delta V}{V_{0}} = (1+ frac{Delta m}{m})(frac{2d}{d_{a}} -1) -1}$

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