Questão 4134

ITA 2013

Física

[ITA - 1 FASE - 2013] Ao passar pelo ponto $O$ , um helicóptero segue na direção norte com velocidade $v$ constante. Nesse momento, um avião passa pelo ponto $P$ , a uma distância $delta$ de $O$ , e voa para o oeste, em direção a $O$ , com velocidade $u$ também constante, conforme mostra a figura. Considerando $t$ o instante em que a distância $d$ entre o helicóptero e o avião for mínima, assinale a alternativa correta.

A distância percorrida pelo helicóptero no instante em que o avião alcança o ponto $O$ é $frac{delta u}{v}$ .

A distância do helicóptero ao ponto $O$ no instante $t$ é igual a $frac{delta v^2}{sqrt{v^2 + u^2}}$

A distância do avião ao ponto $O$ no instante $t$ é igual a

O instante $t$ é igual a $frac{delta v}{v^2 + u^2}$

A distância $d$ é igual a $delta u/sqrt{v^{2}+u^{2}}$

Gabarito:

A distância do avião ao ponto $O$ no instante $t$ é igual a

Resolução:

$N$ e $Q$ são pontos onde encontramos o helicoptero e o avião quando a distância entre eles é mínima.

$ON = vt$

$OQ = delta - ut$ (sentido de u é oposto ao adotado como positivo)

Portanto,

$NQ^2 = ON^2 + OQ^2$

$NQ^2 = v^2t^2 + (delta - ut)^2$

$NQ^2 = v^2t^2 + {delta^2} - 2delta ut + u^2t^2$

$NQ^2 = d^2 = (v^2 + u^2)t^2 - 2delta ut + delta ^2$

$d^2 = (v^2 + u^2)t^2 - 2delta ut + delta ^2$

Se fizermos um gráfico $d^2 x t$ teremos uma parábola, cuja a concavidade é para cima. Então o $d^2$ mínimo é no vértice.

Coordenadas dos vértices:

$t_v = frac{-b}{2a} => t_v = frac{2udelta }{2(v^2 + u^2)} => t_v = frac{udelta }{(v^2 + u^2)}$

Este é o tempo no vértice da parábola.

Analisando as alternativas:

A) t' = tempo para o avião chegar até O.

$OP = ut ightarrow delta = ut$

$t = frac{delta }{u}$

Distância percorrida pelo avião:

$H = vt => H = frac{vdelta }{u}$

B) Distância do helicóptero do ponto O, deve ser percorrida no pelo tv então:

$H = vt_v => H = frac{vudelta }{(v^2 + u^2)}$

C) Distância do avião até o ponto O em t, é a mesma que a distância do avião ao ponto O em t_v:

$OQ = delta - ut_v => OQ = delta - frac{uudelta }{v^2 + u^2} = > OQ = frac{delta v^2 + delta v^2 - v^2delta }{v^2 + u^2}$

$OQ = frac{delta v^2}{v^2 + u^2}$

D) O instante t é o t_v:

$t_v = frac{udelta }{v^2 + u^2}$

E) A distância $d$ pode ser obtida considerando o vértice da parábola. Descobrimos qual a abscissa (tempo) do vértice da parábola, agora devemos descobrir qual a ordenada (distância ao quadrado pela equação acima $d^2 = (v^2 + u^2)t^2 - 2delta ut + delta ^2,,,t ightarrow x,,,d^2 ightarrow y,,em,,y=ax^2+bx+c$ ) da parábola:

$d^2=frac{-Delta}{4a}=frac{4ac-b^2}{4a}=frac{4cdotleft(v^2+u^2 ight )cdotdelta^2-left(2delta u ight )^2}{4cdotleft(v^2+u^2 ight )}=frac{4v^2delta^2+4u^2delta^2-4delta^2u^2}{4left(v^2+u^2 ight )}Rightarrow$

$d^2=frac{4v^2delta^2}{4left(v^2+u^2 ight )}=frac{v^2delta^2}{v^2+u^2}Rightarrow d=frac{vdelta}{sqrt{v^2+u^2}}$

Logo, $d$ não é igual a $delta u/sqrt{v^{2}+u^{2}}$ como propõe o enunciado do item. Logo, este item está incorreto.

Gabarito C.

Questão 4134

ITA 2013

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