Questão 304

ITA 2015

Matemática

(ITA - 2015 - 1ª FASE) Se $z=left ( frac{1+sqrt{3}i}{1-sqrt{3}i} ight )^{10}$ , então o valor de 2 arcsen (Re(z)) + 5 arctg (2 Im(z)) é igual a

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo z, temos:

$z=left ( frac{1+sqrt{3}i}{1-sqrt{3}i} ight )^{10} = left ( dfrac{1+sqrt{3}i}{1-sqrt{3}i} cdot frac{1+sqrt{3}i}{1+sqrt{3}i} ight )^{10}$

$= left ( dfrac{-2+2sqrt{3}i}{1+3} ight )^{10} = left ( frac{-1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i ight )^{10}$

Olhando para o resultado encontrado, facilmente conseguimos identificar um ângulo que satisfaz $cos(x) = -frac{1}{2}$ e $sen(x) = frac{sqrt{3}}{2}$ , que é o caso de $x = 120 ^{circ} = frac{2pi }{3}$ . Sendo assim, podemos reescrever a expressão acima como:

$z = cosleft ( frac{2pi }{3} ight ) + icdot sen left (frac{2pi }{3} ight )$

Agora temos:

$Re(z) = cosleft ( frac{2pi }{3} ight ) = -frac{1}{2}$

$Im(z) = senleft ( frac{2pi }{3} ight ) = frac{sqrt{3}}{2}$

Portanto, teremos que:

$2cdot arcsen (Re(z)) + 5 cdot arctg (2cdot Im(z)) =$

$= 2cdot arcsen left (frac{-1}{2} ight ) + 5 cdot arctg left (2cdot frac{sqrt{3}}{2} ight )=$

$= 2cdot arcsen left (frac{-1}{2} ight ) + 5 cdot arctg left (sqrt{3} ight )=$

$= 2cdot left (frac{-pi }{6} ight ) + 5 cdot left (frac{pi }{3} ight )= frac{-pi }{3} + frac{5pi }{3} = frac{4pi }{3}$

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

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