Questão 21

ITA 2015

Matemática

(ITA – 2015) (2ª fase)

Considere as funções $f_1, f_2, f : mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ , sendo $mathrm{f_1 (x) = frac{1}{2} |x| + 3, f_2 (x) = frac{3}{2} |x + 1|}$ e f(x) igual ao maior valor entre f₁(x) e f₂(x), para cada $x in mathbb{R}$ . Determine:

a) Todos os $x in mathbb{R}$ tais que $mathrm{f_1(x) = f_2 (x)}$ .

b) O menor valor assumido pela função f.

c) Todas as soluções da equação f(x) = 5.

Gabarito:

Resolução:

Vamos primeiro analisar o comportamento de $f_1$ e $f_2$ para diferentes intervalos:

. $f_1(x)=frac{1}{2}left | x ight |+3$

Para $xgeq 0$ temos: $f_1(x)=frac{1}{2}x+3$

Para $x< 0$ temos: $f_1(x)=-frac{1}{2}x+3$

. $f_2(x)=frac{3}{2}left | x+1 ight |$

Para $xgeq -1$ temos: $f_2(x)=frac{3}{2}(x+1)$

Para $x<-1$ temos: $f_2(x)=frac{3}{2}(-x-1)$

Resolução a)

Para $xgeq 0$ : $frac{1}{2}x+3=frac{3}{2}(x+1)$

$f_1=f_2$ quando $x=frac{3}{2}$ .

Para $-1leq x<0$ : $-frac{1}{2}x+3=frac{3}{2}(x+1)$

Não há solução.

Para $x<-1$ : $-frac{1}{2}x+3=frac{3}{2}(-x-1)$

$f_1=f_2$ quando $x=-frac{9}{2}$ .

------------------- Solução de b) ---------------------------------

Ou será quando x=0 em f1 ou quando x= -1 em f2.

$f_1(0)=3$ e $f_2(0)=frac{3}{2}$

$f_2(-1)=0$ e $f_1(-1)=frac{7}{2}$

Então $f_{min}=3$ .

----------------------- Resolução c) ----------------------------

Para f(x)=5, temos que o maior valor entre f1 e f2 tem que ser igual a 5, para isso:

$f_1(x)=5$

$f_1(x)=frac{1}{2}left | x ight |+3$ , $f_1(x)=5$ nos seguintes valores de x: 4 e -4.
Vamos analisar o valor de f2 para esses valores:

$f_2(4)=7,5$ e $f_2(-4)=4,5$ , logo apenas -4 é solução.

Agora vamos analisar quando $f_2(x)=5$ :

f2 assume o valor 5 quando x: $frac{7}{3}$ e $-frac{13}{3}$

Agora vamos comparar com os valores de f1.

$f_1(frac{7}{3})=frac{25}{6}$ e $f_1(-frac{13}{3})=frac{31}{6}$ , logo, somente $x=frac{7}{3}$ é solução.

Questões relacionadas

Questão 302

Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional. II. . III. é um número racional. É (são) verdadeira...

Questão 303

(ITA - 2015 - 1ª FASE) Seja A, B e C os subconjuntos de definidos por , e . Então, é o conjunto

Questão 304

(ITA - 2015 - 1ª FASE) Se , então o valor de 2 arcsen (Re(z)) + 5 arctg (2 Im(z)) é igual a

Questão 305

(ITA - 2015 - 1ª FASE) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x + 4y - 4 = 0 e s : 3x + 4y - 19 = 0. A área do círculo determinado por C &eacu...