Questão 28

ITA 2015

Matemática

(ITA - 2015 - 2ª fase)

Sejam $alpha$ e $eta$ números reais não nulos. Determine os valores de b, c, d, bem como a relação entre $alpha$ e $eta$ para que ambos os sistemas lineares S e T a seguir sejam compatíveis indeterminados.

$S left{egin{matrix} 2x + by = alpha \ cx + y = eta end{matrix} ight. T left{egin{matrix} cx + 3y = alpha\ 4x + dy = eta end{matrix} ight.$

Gabarito:

Resolução:

Para que os sistemas sejam compatíveis e indeterminados (SPI), precisamos que ambos sistemas tenham suas equações proporcioanais, ou geometricamente falando, sejam retas coincidentes. Assim, temos:

Sistema S:

$frac{2}{c}=frac{b}{1}=frac{alpha}{eta}$

Sistema T:

$frac{c}{4}=frac{3}{d}=frac{alpha}{eta}$

Como em ambos os sistemas temos $frac{alpha}{eta}$ , podemos montar a igualdade:

$frac{2}{c}=frac{c}{4}$

$c=pm2sqrt{2}$

para $c=+2sqrt{2}$ , temos:

$b=frac{sqrt{2}}{2}$ , $d=3sqrt{2}$ e $frac{alpha}{eta}=frac{sqrt{2}}{2}$

para $c=-2sqrt{2}$ , temos:

$b=frac{-sqrt{2}}{2}$ , $d=-3sqrt{2}$ e $frac{alpha}{eta}=-frac{sqrt{2}}{2}$

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