Questão 25

ITA 2015

Matemática

(ITA – 2015) (2ª fase) Seja S o conjunto de todos os polinômios de grau 4 que têm três dos seus coeficientes iguais a 2 e os outros dois iguais a 1.

a) Determine o número de elementos de S.

b) Determine o subconjunto de S formado pelos polinômios que têm –1 como uma de suas raízes.

Gabarito:

Resolução:

a) O número de elemntos do conjunto S é dado pelas permutações com repetições dos elementos dados no enunciado, logo temos:

$P_{5}^{(2,3)} = frac{5!}{2!cdot 3!} = 10$

b) Seja o nosso polinômio $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ , sendo $P(-1) = 0$ , temos:

$P(-1) = a -b + c - d + e Rightarrow$

$Rightarrow 0 = a -b + c - d + e Rightarrow b + d = a + c + e$

Com essa última igualdade, temo que $b$ e $d$ obrigatoriamente valem 2, portanto:

$egin{cases} b = d = 2\ a = 2 \ c = 1 \ e = 1 end{cases}$ ou $egin{cases} b = d = 2\ a = 1 \ c = 2 \ e = 1 end{cases}$ ou $egin{cases} b = d = 2\ a = 1 \ c = 1 \ e = 2 end{cases}$

Logo o subconjunto de S, será: $left {2x^4 + 2x^3 + 1x^2 + 2x + 1; ext{ } ext{ }1x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1; ext{ } ext{ } 1x^4 + 2x^3 + 1x^2 + 2x + 2 ight }$

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