Questão 24

ITA 2015

Matemática

(ITA – 2015) (2ª fase) Seja $mathrm{M} subset mathbb{R}$ dado por $mathrm{M} = {|mathrm{z}^2 + mathrm{az} -1|: mathrm{z} in mathbb{C} mathrm{e} |mathrm{z}| =1}$ com $mathrm{a} in mathbb{R}$ . Determine o maior elemento de M em função de a.

Gabarito:

Resolução:

Seja $z = c + bi$ , com $c, bin mathbb{R}$ . Teremos:

(i) Como é dito no enunciado $|z| = 1$ , logo:

$|z| = 1 Rightarrow$
$Rightarrow sqrt{c^2+b^2} = 1 Rightarrow$
$Rightarrow b^2 = 1 - c^2$

(ii) Substituindo z, temos:

$z^2 + az - 1 = (c + bi)^2 + a cdot(c + bi)-1 =$
$= c^2 + 2icdot (cb) - b^2 + ac + icdot (ab)-1=$
$= (c^2+ac-b^2-1) + icdot (2cb+ab)=$
$= (c^2+ac-(1-c^2)-1) + icdot (2c+a)cdot b=$
$= (2c^2+ac-2) + bicdot (2c+a)$

(iii) Na igualdade anterior, conseguimos deixar o número dentro do módulo em um formato padrão dos números complexos " $z = a+bi$ ", agora podemos usar o fato do módulo ao quadrado ser equivalente à soma dos quadrados dos termos, para continuarmos desenvolvendo:

$left | z^2+az-1 ight |^2 = (2c^2+ac-2)^2 + b^2(2c+a)^2 =$

Substituindo y²e desenvolvendo, temos:

$= 4c^4+a^2c^2+4+4ac^3-8c^2-4ac+4c^2+4ac+a^2-4c^4-4ac^3-a^2c^2 =$
$= -4c^2+a^2+4$

Com isso chegamos que:

$left | z^2+az-1 ight |^2 = -4c^2+a^2+4 Leftrightarrow$
$Leftrightarrow left | z^2+az-1 ight | = sqrt{-4c^2+a^2+4}$

Olhando para a função com variável c, $f(c) = -4c^2+a^2+4$ . Conseguimos observar que terá um gráfico de função de segundo grau com concavidade para baixo, visto que o termo que acompanha nossa variável c é o -4. Além disso, ela também terá seu valor máximo quando c = 0, implicando também no máximo de $sqrt{-4c^2+a^2+4}$ que será $sqrt{a^2+4}$ . Sendo assim temos que:

M = Máximo de $left | z^2+az-1 ight | = sqrt{a^2+4}$ .

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