Questão 22

ITA 2015

Matemática

(ITA – 2015) (2ª fase) Considere o polinômio p dado por $p(z) = 18z^3 + eta;z^2 - 7z - eta$ em que $eta$ é um número real.

a) Determine todos os valores de β sabendo-se que p tem uma raiz de módulo igual a 1 e parte imaginária não nula.

b) Para cada um dos valores de β obtidos no item anterior, determine todas as raízes do polinômio p.

Gabarito:

Resolução:

Seja $a+bi$ , $a-bi$ e c as três raízes da equação, com $a^2+b^2=1$ e $b eq 0$ , temos então que:

$(a+bi) cdot (a-bi)cdot c = frac{eta }{18} Rightarrow$

$Rightarrow (a^2+b^2)cdot c = frac{eta }{18} Rightarrow c = frac{eta }{18}$

Substituindo na equação e igualando a zero, teremos:

$p(z) = 18z^3 + eta;z^22 - 7z - eta$

$18left ( frac{eta }{18} ight )^3 + eta cdot left ( frac{eta }{18} ight )^2 - 7left ( frac{eta }{18} ight ) - eta = 0$

$eta cdot(eta ^2+eta ^2-126-324) = 0$

$eta cdot(2eta ^2-450) = 0$

Dessa última igualdade, conseguimos tirar que $eta = 0$ ou $eta = pm15$ . Agora precisamos verificar para cada valor de se o polinômio p continua satisfazendo o que se pede no enunciado.

(i) $eta = 0$ :

O polinômio será $p(z) = 18z^3 - 7z$ e suas raízes serão:

$18z^3 - 7z = 0 Rightarrow zcdot(18z^2-7) = 0$

$z = 0$ ou $z = pm sqrt{frac{7}{8}}$

Como as três raízes pertencem ao conjunto dos números reais, não temos raízes da forma $a pm bi$ , com $b eq 0$ como supomos na resolução ou alguma raiz com módulo igual a 1 como foi pedido no enunciado.