Questão 27

ITA 2015

Matemática

(ITA – 2015) (2ª fase) Seja n um inteiro positivo tal que $mathrm{sen frac{pi}{2n} = sqrt{frac{2 - sqrt 3}{4}}}$ .

a) Determine n.

b) Determine $mathrm{sen frac{pi}{24}}$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Temos por propriedade que:

$sen^2(frac{pi}{2})={frac{1-cos(pi)}{2}}$

$sen(frac{pi}{2})=pm sqrt{frac{1-cos(pi)}{2}}$

Logo:

$sen(frac{pi}{2n})=pm sqrt{frac{1-cos(frac{pi}{n})}{2}}=sqrt{frac{2-sqrt{3}}{4}}$

$cos(frac{pi}{n})=frac{sqrt{3}}{2}$

$n=6$

b) $sen(frac{pi}{24})=sen(frac{frac{pi}{12}}{2})$

Utilizando a mesma popriedade do item a, e sabendo que $sen(frac{pi}{12})$ é o valor dado neste item:

$sen(frac{pi}{24})=sqrt{frac{1-cos(frac{pi}{12})}{2}}$

Podemos encontrar o valor deste cosseno por:

$sen^2(frac{pi}{12})+cos^2(frac{pi}{12})=1$

$frac{2-sqrt{3}}{4}+cos^2(frac{pi}{12})=1$

$cos^2(frac{pi}{12})=1-(frac{2-sqrt{3}}{4})$

$cos^2(frac{pi}{12})=(frac{2+sqrt{3}}{4})$

$cos(frac{pi}{12})=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{2}$

Substituindo na expressão encontrada no início da resolução:

$sen(frac{pi}{24})=sqrt{frac{1-frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{2}}{2}}$

$sen(frac{pi}{24})=sqrt{frac{2-sqrt{2+sqrt{3}}}{4}}$

$sen(frac{pi}{24})=frac{sqrt{2-sqrt{2+sqrt{3}}}}{4}$

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