Questão 36905

ITA 2015

Matemática

Considere os pontos A = (0,-1), B = (0,5) e a reta r: 2x - 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir:

I. d(A,r) = d(B,r)

II. B é simétrico de A em relação à reta r.

III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C = (-3 $sqrt{3}$ , 2) ou C = (3 $sqrt{3}$ , 2).

É (são) verdadeira (s) apenas

II.

I e II.

I e III.

II e III.

Gabarito:

I e III.

Resolução:

1) Analisando a essência do problema:

A = (0,-1), B = (0,5) e a reta r: 2x - 3y + 6 = 0

2) Analisando as afirmações:

I. d(A,r) = d(B,r) -> VERDADEIRA

A distância entre um ponto (x_o, y_o) e uma reta (ax + by + c = 0) é dado por:

$d=frac{|ax_o+by_o+c|}{sqrt{a^2+b^2}}$

Para o ponto A:

$d=frac{|2cdot0-3cdot-1+6|}{sqrt{2^2+(-3)^2}}=frac{9sqrt{13}}{13}$

Para o ponto B:

$d=frac{|2cdot0-3cdot5+6|}{sqrt{2^2+(-3)^2}}=frac{9sqrt{13}}{13}$

II. B é simétrico de A em relação à reta r. -> FALSA

O ponto (0,2) é ponto médio de $ar{AB}$ . Como $ar{AB}$ não é perpendicular à reta r, B não é simétrico de A em relação à r.

III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C = (-3 $sqrt{3}$ , 2) ou C = (3 $sqrt{3}$ , 2). -> VERDADEIRA

Como o triângulo equilátero ABC terá lado 6. A Altura do triângulo será

$frac{l sqrt{3}}{2} = 3sqrt{3}$

Logo, o vértice C estará em x= $pm 3sqrt{3}$ e y estará no ponto médio, ou seja, y=2.

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