Questão 1

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Considere as seguintes afirmações:

I. A função f(x) = log₁₀ é estritamente crescente no intervalo ]1, + ∞[.

II. A equação 2^x+2 = 3^x−1 possui uma única solução real.

III. A equação (x + 1)^x = x admite pelo menos uma solução real positiva.

É (são) verdadeira(s)

apenas I.

apenas I e II.

apenas II e III.

I, II e III

apenas III.

Gabarito: apenas I e II.

Resolução:

Afirmativa I -

Se { $x_{1}; x_{2}$ } $subset [1; propto ]$ com $x_{1} < x_{2}$ :

$x_{1} < x_{2} Rightarrow frac{1}{x_{1}} > frac{1}{x_{2}} Rightarrow -frac{1}{x_{1}}< -frac{1}{x_{2}} Rightarrow 1- frac{1}{x_{1}} < 1 - frac{1}{x_{2}}$

$log_{10} (1-frac{1}{x_{1}}) < log_{10} (1-frac{1}{x_{2}})$ $Rightarrow$ $log_{10} (frac{x_{1}-1}{x_{1}}) < log_{10} (frac{x_{2}-1}{x_{2}})$

Desse modo, f é crescente, o que torna a afirmativa I verdadeira.

Afirmativa II -

$2^{x+2} = 3^{x+1} Rightarrow 2^{x}.4 = 3^{x}.frac{1}{3} Rightarrow frac{2^{x}}{3^{x}} = frac{1}{12} Rightarrow$ $(frac{2}{3})^{x} = frac{1}{12} Rightarrow x=log_{frac{2}{3}} (frac{1}{12})$

Como há uma única solução, a afirmativa II é verdadeira.

Afirmativa III -

$(x+1^{x}) > x$ , $forall x varepsilon mathbb{R}_{+}$ $Rightarrow$ Logo, a afirmativa III é falsa.

Gabarito: b)

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