Questão 4

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Se $tgx = sqrt7$ e $x in [pi, frac{3 pi}{2}]$ , então sen3x é igual a

Gabarito:

Resolução:

Sendo $tgx = 7 Rightarrow cos x = frac{sen x}{sqrt{7}}$ e $sen^{2}x + cos^{2}x = 1$ , temos:

$sen^{2}x + left (frac{sen^{2}x}{sqrt{7}} ight ) = 1 Rightarrow sen^{2}x = frac{7}{8} Rightarrow sen x= pm frac{sqrt{7}}{2sqrt{2}} = pm frac{sqrt{14}}{4}$

Porém, como $x in left [ pi, frac{3pi}{2} ight ]$ , temos que $senx= - frac{sqrt{14}}{4}$ .

Desse modo, tendo $sen (3x)= 3.senx-4.sen^{3}x$ podemos obter:

$sen(3x)= -frac{3sqrt{14}}{4} -4cdot left (frac{-sqrt{14}}{4} ight )^{3} = -frac{3sqrt{14}}{4} -4cdotfrac{-14sqrt{14}}{64}$

$sen(3x)= -frac{3sqrt{14}}{4} + frac{7sqrt{14}}{8}$

$sen(3x)= frac{sqrt{14}}{8}$

Gabarito B.

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